La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus
tollendo tollens se aplica también a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando (tollendo) el
consecuente, se puede negar (tollens) el
antecedente de la condicional.
La deducción siguiente es un ejemplo del uso del modus
tollendo tollens.
Premisa l. Si tiene luz propia, entonces el astro es una
estrella.
Premisa 2. El astro no es una estrella.
Conclusión. Por tanto no tiene luz propia.
Se simbolizará el ejemplo de la manera siguiente:
Sea
P = «Tiene luz propia»
Q=«E1 astro es una estrella».
P —• Q
-»Q
—I
P
La abreviatura del modus
toliendo tollens es TT.
Cuando el antecedente
o el consecuente es una proposición molecular,
puede usarse el
paréntesis para mayor claridad:
(P) - (Q)
~1(Q)
-«(P)
Por tanto, la regla modus toliendo tollens permite
pasar de dos premisas:
(a) una proposición condicional, y (b) una proposición
que niega el
consecuente, a una conclusión que niega el antecedente.
Otro ejemplo puede
aclarar todavía la afirmación anterior. La proposición
condicional es:
Si es por la mañana,
entonces el sol estará en el Este.
Se niega el consecuente:
El sol no está en el
Este.
Entonces se puede negar el antecedente:
Por tanto, no es por la
mañana.
La regla se aplica a
todo conjunto de premisas de esta forma. El antecedente
o el consecuente
pueden ser proposiciones moleculares o proposiciones atómicas. En los ejemplos
siguientes, se usa la regla modus tollendo tollens; en cada uno de ellos
una de las premisas es una condicional, y la otra premisa niega el consecuente.
a. (1) R —> S
P b. (1) Q & R —> S P
(2) - . S P (2) –Is
P
(3) —iR TT 1,
2 (3)
—i(Q & R) TT 1, 2
c. (1) P —» iQ
P
(2)
n i Q P
(3) -nP TT 1, 2
Obsérvese que en el
último ejemplo se niega una negación, lo que da lugar a una doble negación: se
niega —,Q es decir, se toma como premisa i iQ.
Se considera ahora un
ejemplo de una demostración en el que se aplican las tres reglas expuestas
hasta aquí. Se trata de demostrar —i—R
(1) P —> Q P
(2) n Q P
(3) —iP —> R P
(4) –Ip TT 1,2
(5) R PP 3,4
(6) —i—Ir DN 5
Repasar este ejemplo
para asegurarse que se puede seguir cada uno de los
pasos. Se da ahora
otro ejemplo en el que sólo se usan dos reglas. Se desea
demostrar A.
El uso de la doble
negación es aquí importante. Se necesita la negación del
consecuente en la
primera premisa para poder aplicar la regla TT. El consecuente
es —iB. La negación
de esta proposición molecular se consigue anteponiendo
el símbolo que
corresponde al «no»; y así, —i—iB niega a —iB. No se tiene —i—iB en las
premisas, pero se puede deducir de la segunda premisa
B. Obsérvese que esto
es lo que se ha realizado en la línea (3). Utilizandoel modus toliendo
tollens se tiene la negación del antecedente. El
antecedente es —iA de
manera que su negación es —i—iA. Finalmente, todo se
reduce a aplicar la
regla DN otra vez, para obtener A de —i—iA.
EJERCICIOS
A. ¿Qué conclusión se
puede deducir de cada uno de los conjuntos de
premisas siguientes
utilizando la regla TT? Escribir las conclusiones en castellano.
1. Si la luz fuera
simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante
daría lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los
originados por luz más tenue. La luz más brillante no siempre emite electrones
con mayor energía que los originados por luz más tenue.
2. Si un ángulo de un
triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es
menor de 90 grados. La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados.
B. Deducir una
conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, aplicando la
regla del modus tollendo tollens.
1. (1) Q —> R P (1) Q —» —>R P
(2) —Ir P (2) ' 'R P
(3) (3)
Demostrar que las conclusiones son
consecuencia de las premisas dadas.
Indicar la demostración
completa.
1.
Demostrar: C
(1) –nB P
(2) A – B P
(3) —iA —> C P
2. Demostrar: F
(1) G - H p
(2) —iG —» —i—iF p
(3) – Ih p
5.
Demostrar: —,$
(1)
S —> —>R p
(2) R p
Más
sobre la negación. La regla de doble negación se utiliza
frecuentemente con modus tollendo tollens, y con otras reglas que se
introducirán seguidamente. Puesto que el uso de la regla de doble negación en
conjunción con la TT, esencialmente tiene siempre la misma forma, se pueden
acortar de ducciones, introduciendo una extensión de la definición de negación:
P es
la negación de —iP
Ya
se sabe que —iP es la negación de P, y podemos aplicar la regla de doble negación
para lograr esta extensión de la definición de negación. Dado —iP, su negación
es —i—iP5 pero en virtud de la regla de doble negación, se obtiene la
proposición equivalente P. Esta regla sólo permite simplificar, pero en sí no
es una regla nueva de demostración.
Teniendo
presente que P es la negación de —iP se simplifican las demostraciones, como en
el caso siguiente:
(1) A —» —iB P
(2) B P
(3) -iA TT
1, 2
De
las dos premisas se obtiene la negación de A sin más que aplicar TT.
Teniendo
en cuenta que A es la negación
de —iA resulta la negación de B,
es
decir, —iB. Sin esta extensión
de la definición de negación, la deducción
requiere
una nueva línea en la que se aplica la regla de doble negación.
(1)
A —> —iB P
(2)
B P
(3)
—i—iB DN
2
(4)
-iA TT
1, 3
Obsérvese
que el efecto de reconocer P como
negación de —iP es extender
el
TT a la forma lógica siguiente:
P —> n Q
Q
¬P
Otra
extensión análoga del TT se refiere al antecedente de la premisa condicional:
- i P - > Q
-
iQ
P
