Deducción proposicional
Hemos aprendido
algunas reglas de buena inferencia que permiten pasar lógicamente de un
conjunto de afirmaciones a otra afirmación. De la proposición
P —> Q y la proposición P, por ejemplo, se
puede deducir la proposición
Q.
Se ha visto también
que se puede demostrar que una conclusión se deduce lógicamente de un conjunto
de premisas, aun cuando no se pueda ir directamente de las premisas a la conclusión
en un solo paso. Yendo por pasos sucesivos, cada uno permitido por una regla,
es posible alcanzar la conclusión deseada.
Si es así, se ha demostrado
que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas.
Con el manejo de unas
pocas reglas, empezamos a aprender el método de las deducciones formales. Es
decir, hemos aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son
válidos. Un razonamiento es simple mente un conjunto de proposiciones
como premisas y una conclusión deducida de estas premisas. Cuando decimos que
es válido entendemos que la conclusión es consecuencia lógica de las
premisas. Una deducción formal es una serie de proposiciones o pasos, en la
cual cada paso o es una premisa o está deducido directamente de los pasos que
le preceden por medio de una determinada regla.
En la introducción a
este capítulo, se comparaban las reglas de la Lógica a las de un juego; y se
puede imaginar la deducción como la realización de un juego. Se han aprendido
reglas suficientes para hacer una deducción simple. La deducción o demostración
es el juego y las reglas del juego son precisamente las reglas de inferencia.
Se puede hacer cualquier movimiento, dar cualquier paso que está permitido por
una regla, y se ha de poder justificar cada paso dado indicando la regla
seguida. El objetivo que nos proponemos alcanzar en este juego es la conclusión
establecida. El propósito de cada movimiento que se hace, es avanzar un paso
acercándose al objetivo.
La posición de
partida con la que se inicia el juego es un conjunto de premisas.
Las premisas están
justificadas por la regla de premisas que es:
Una premisa puede ser
introducida en cualquier punto de una deducción.
La aplicación de las
reglas no depende del uso que se haya hecho de las mismas en líneas anteriores.
La regla de las
premisas se ha utilizado ya al principio de las deducciones.
Como esta regla es
familiar, la P para la regla de
premisas se omitirá corrientemente cuando se da un problema en forma
simbolizada. En deducciones formales, sin embargo, se escribirá una P antes de
cada premisa dada, para indicar que las líneas están justificadas por la regla
de premisas.
Resumiendo, se
empieza con un conjunto de premisas y el objeto es pasar de estas premisas a
una conclusión particular. Cada movimiento que se hace, cada línea que se
escribe debajo, ha de ser permitido por una regla de inferencia definida.
Hemos aprendido a
efectuar deducciones simples. Ahora se considerarán algunas deducciones
complicadas.
Consideremos el razonamiento del siguiente ejemplo:
Ejemplo a.
Si la ballena es un
mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces
no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por
tanto, no necesita branquias.
La conclusión que se desea demostrar o deducir es la
proposición «no necesita branquias». (La palabra, «por tanto», pone de
manifiesto que la proposición final es la conclusión del razonamiento.) El
primer paso en este proceso es simbolizar el razonamiento de manera que la
deducción sea perfectamente clara.
Sea
W= «La ballena es un mamífero»
0 = «Toma su oxígeno del aire»
G= «Necesita branquias»
H= «Habita en el océano».
Entonces
la primera premisa es W —• O
la segunda premisa es O —> —iG
la tercera premisa es W & H
la conclusión es -iG.
La deducción
proposicional se puede escribir como se indica a continuación
(1) W —• O p
(2) O — - i G p
(3) W & H p
(4) W S 3
(5) O pp 1, 4
(6) i G pp 2,5
Los tres primeros
pasos son premisas. Los pasos 4, 5 y 6 están justificados
por reglas de
inferencia aplicadas a líneas anteriores. A la derecha de cada
paso o línea, se
indica la manera como se justifica aquella línea. Por ejemplo,
puesto que las tres
primeras líneas son premisas, se escribe la letra P a la derecha de aquellas
líneas. Estas líneas son dadas y no deducidas y, por tanto, no necesitan
ninguna otra justificación.
La línea 4 se deduce de la línea 3 por la regla de
simplificación. Por tanto, se escribe la abreviatura de la regla S a la derecha
de aquella línea, seguida del número de la línea de la que se ha deducido. La
línea 5 se obtiene de las líneas 1 y 4 por modus ponendo ponens. Considerando la línea 1, W —> O, y la
línea 4, W, se puede ver rápidamente que modus
ponendo ponens nos
permite obtener O- Este movimiento se indica por la abreviatura del nombre de
la regla PP, y el número de las líneas de las que se ha deducido la línea 5. De
forma análoga se indica que la línea 6 se ha deducido por modus ponendo ponens de las líneas 2
y 5.
Puesto que la línea 6
representa la conclusión deseada, objetivo de nuestra deducción, la deducción
es completa. Se ha demostrado que —iG es consecuencia lógica de las tres
premisas del razonamiento. Así, puesto que
iG representa la proposición «No necesita branquias» en el razonamiento puesto
como ejemplo se ha demostrado que la conclusión de aquel razonamiento es
válida. Este es un ejemplo de una deducción formal
A fin de que cada
paso de la demostración resulte perfectamente claro a todos aquellos que lo
lean, nos atendremos estrictamente a la forma indicada para hacer deducciones.
No se olvide que un objetivo de la Lógica es ser preciso. Para estar seguro de
la precisión, anótese cada paso que se efectúe y el por qué está permitido.
Para cada paso, escríbase primero el número de aquella línea, después la
proposición misma, y finalmente lo que justifica aquel paso por la abreviatura
de la regla que lo ha permitido. Si el paso está deducido de otras líneas por
una regla, entonces añádase el número o números de las líneas de las que se ha
deducido.
Consideremos el siguiente razonamiento:
Ejemplo b.
Si la enmienda no fue
aprobada entonces la Constitución
queda como estaba. Si
la Constitución queda como estaba
entonces no podemos
añadir nuevos miembros al comité.
O podemos añadir
nuevos miembros al comité o el informe
se retrasará un mes.
Pero el informe no se retrasará
un mes. Por tanto la
enmienda fue aprobada.
Sea,
A = «La enmienda fue aprobada»
C = «La Constitución queda como estaba»
M = «Podemos añadir nuevos miembros al comité»
R = «E1 informe se retrasará un mes».
Entonces;
(1) —«A —• C P
(2) C —• —iM
P
(3) M V R P
(4) —iR P
(5) M TP 3, 4
(6) —«C
T T 2, 5
(7) A T T 1, 6
La conclusión del
razonamiento es «La enmienda fue aprobada». El objetivo entonces es mostrar
que la conclusión es consecuencia lógica de las cuatro premisas del
razonamiento. Primero se indican las letras con que se simboliza cada una de las
proposiciones atómicas. Después se simboliza cada una de las cuatro premisas y se
indica que están justificadas en la demostración poniendo junto a cada una la
letra «P». Las premisas son las cuatro primearas líneas en la demostración.
El movimiento siguiente
es el intentar obtener la conclusión, que es A,
utilizando las reglas aprendidas. La línea 5 se obtiene
de las líneas 3 y 4
por modus
tollendo ponens, TP. La línea 6 se deduce de las líneas 2 y 5 por
modus tollendo
tollens, TT. La línea 7 se obtiene
de las líneas 1 y 6 por
modus tollendo
tollens. Se ha mostrado que la
conclusión del razonamiento
se deduce de las premisas por medio de una deducción
formal.
No hay comentarios:
Publicar un comentario